L'ordre et opérations
I- Comparaison de deux nombres rationnels
1- Rappel
Recopie et complète par le signe < ou >
Définition :
Comparer deux nombres, c'est déterminer lequel des deux nombres est le plus petit et lequel est le plus grand.
Propriété :
a et b sont deux nombres rationnels :
- Si la différence a - b est positive, alors a ≥ b.
- Si la différence a - b est négative, alors a ≤ b.
Remarque :
Pour comparer deux nombres rationnels, on peut déterminer le signe de leur différence.
- Les écritures a ≤ b, a ≥ b, a < b, a > b sont appelées des inégalités.
- Les symboles ≤, ≥, <, > sont les symboles de l’inégalité.
Exemple :
23 < 35. En effet, 23 – 35 = -12 < 0.
Remarque :
Si a – b = 0, alors a = b.
II- Ordre et opérations :
1- L’ordre et l’addition :
Propriété 1 :
Soient a, b et m des nombres rationnels :
- Si a < b, alors a + m < b + m.
- Si a < b, alors a - m < b - m.
(Les nombres a + m et b + m sont rangés dans le même ordre que a et b.)
Exemple :
x et y sont deux nombres rationnels tels que : x + 4 < y
Montrer que a + 1 < b - 3.
On a 5/4 > 2/3, complétez par le signe ≤ ou ≥.
Propriété 2 :
Soient a, b, c et d des nombres rationnels :
Si a ≥ b et c ≥ d, alors a + c ≥ b + d.
Exemples :
- 3 < 5 et 7 < 9 alors 3 + 7 < 5 + 9, c-à-d : 10 < 14
- x et y deux nombres rationnels tels que x < 5 et 7 > y. Montrer que x + y < 12.
2 – L’Ordre et multiplication :
Propriété :
Pour tous nombres rationnels a, b et pour tout nombre c positif :
Si a ≤ b, alors a × c ≤ b × c.
Pour tous nombres rationnels a, b et pour tout nombre c négatif :
Si a ≤ b, alors a × c ≥ b × c.
Exemple :
a et b deux nombres rationnels tels que : a ≤ 1/2 et b ≤ – 3.
Comparer 2a et 1 puis -2b et 6.
Encadrement :
Définition :
Deux nombres rationnels a et b encadrent le nombre rationnel x lorsque :
a ≤ x ≤ b ou a < x < b.
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